目前，由于鉛酸蓄電池的經濟性和技術成熟性，使其成為豐要的儲能設備。為了達到優化蓄電池電力系統效率的目的，對蓄電池容量的實時監控必不可少。而由于蓄電池的非線性特性，反映其容量的關鍵參數荷電狀態(SOC)，作為電池的內特性不可能直接進行測量。SOC數值只能使用工作電壓、電流等直接測量得到的外特性參數估算獲得。

本文使用最優估計理論建立蓄電池的動態工作模型，實現蓄電池SOC的實時估算。該動態模型被劃分為兩個部分：第一部分是蓄電池數學解析描述，即對蓄電池工作特性的開環描述；第二部分是加入動態過程的描述，實現蓄電池工作特性的閉環描述。對于蓄電池的解析模型，較為通用的方式是建立描述輸入輸出之間關系的數學模型，通過實驗來確定模型的某些參數，或者模型內部的某些狀態量。然而，僅僅使用開環描述模型得到動態輸出與實際的動態情況常常存在偏差，這種誤差主要歸咎于測量過程中的異常偏差。當這種誤差出現時，只有閉環描述模型才能根據這些誤差對模型進行調整。本文使用基于電化學理論的安時模型實現電池數學解析描述，而動態過程描述則使用帶有自矯正能力的擴展卡爾曼濾波算法。

1 基于電化學的安時模型

普通的安時計量法使用下式估算蓄電池的SOC。
式中：s(0)為初始時刻的蓄電池SOC數值，若從充滿開始放電，其值可以設為1；s(t)為t時刻的SOC實時值；Q為蓄電池的標稱容量；η為庫侖因子。通過調整庫侖因子可以滿足不同放電電流下的SOC計算。實際應用中，庫侖因子多通過試驗確定為常數或是關于放電電流I的函數。但是，蓄電池的標稱容量不等于實際容量，且實際容量在使用中也會衰減。同時，確定庫侖因子過程中產生的誤差，也會影響到安時估算的精度。為了對上述問題進行改進，提高安時法 SOC估算的精度。本文使用電化學理論，構造新的基于安時法的SOC估算模型。

1.1 電解液活性物質濃度損失函數
蓄電池內部電解液所含有的活性物質，其濃度損失百分比可以表示為：
式中：C*為初始濃度；C(t)為電解液中t時刻活性物質的濃度；時間t的取值范圍[0，L]，L為放電總時間。
當使用蓄電池一維的電化學模型，根據電化動力學理論，最終可以得到電解液活性物質濃度損失百分比函數：
式中：v為反應中電子的數目；F為法拉利常數；A為電極的面積；D為擴散系數。

1.2 電化學安時模型
由于電解液的活性物質濃度和電池的SOC成正比的關系，設比例系數為M，可以直接得出電池t時刻的SOC解析表達式：
若考慮電流值為I的恒流放電過程，放電截止時ρ(L)1，則可以得到以下等式：
對于給定的恒流放電集合{I*，*=1，2，…，n}，可以使用最小二乘法得到最優的α、β參數，其中：
得到模型參數之后，為方便模型的實際應用，使用積分的矩形近似方法改寫(4)式，用以獲得離散時間上的近似遞推模型，在間隔周期△t足夠小的情況下，遞推模型可以寫為：
式中：sk表示k時刻的電池SOC的實時值；Ik表示k時刻的電池電流。對比式(1)的標準安時估算模型，可以發現 α等于電池的標稱容量Q，庫侖因子則由β 和放電時間k△t決定。從電化學角度分析，表達式(7)的括號中的第二項表示蓄電池中無法使用的總電量，當β數值增加的時候，第二項趨向于零。因此，較大的β數值意味著蓄電池可以被看作理想儲能元件，所有充電電量都可以完全通過放電過程釋放。這是因為大的β數值表明更快的擴散效應，蓄電池電解液中的活性物質可以更快的到達電極的表面。反之，小的β數值表明蓄電池儲能損失大，大量的充電電量無法在放電過程中釋放。

2 擴展卡爾曼濾波閉環估算模型

改進安時模型能夠較好地反應電池的動態特性，但這種蓄電池SOC計算方式只是一種開路的估算方式，存在著傳統安時計量法的缺點，即對電流測量中的測量偏差十分敏感，某一個時刻出現的測量偏差，可以影響到該時刻后所有的SOC估算值。如果將估算模型構造成閉環反饋的模式，則可以自動修正電流測量中的偏差，給出正確的SOC估算值。在(7)式遞推模型的基礎上，可以使用卡爾曼濾波器方法構造出具有閉環特性的電池SOC估算模型。
首先將(7)式作為蓄電池SOC估算系統的狀態方程，蓄電池SOC為狀態量，蓄電池的工作電流作為系統的輸入。然后，利用蓄電池的工作電壓構造系統的觀測方程。
蓄電池負載電壓與當前時刻蓄電池的開路電壓(Vcc)之間的關系是：
式中：R為蓄電池內阻。又由于Vcc和內阻都與其SOC有著直接的關系，故可以使用關于sk的函數，得到卡爾曼濾波算法中的觀測方程：
式中：uk表示k時刻的電池端電壓，則(7)式和(9)式組成了蓄電池SOC估算的卡爾曼濾波系統。確定(9)式的具體過程將在實驗部分詳細分析。
卡爾曼濾波器問題可以描述為：使用觀測量{I1，I2，…，Ik}和{u1，u2，…，uk}找到最優的sk估算值?？柭鼮V波算法采用反饋控制的方法估算過程狀態：濾波器估算出過程中某一時刻的狀態，然后通過測量特定變量的方式獲得反饋。因此卡爾曼濾波器可分為兩個部分：時間更新方程和測量更新方程。時間更新方程負責及時向前推算當前狀態變量和誤差協方差估算的值，以便為下一個時間狀態構造先驗估算。測量更新方程負責反饋，它將先驗估算和新的測量變量結合以構造改進的后驗估算。具體算法如參考文獻所示。

3 實驗驗證

為考察前文提及的蓄電池SOC估算方法的可行性和有效性，本文以某同產6 V／4.5 Ah鉛酸蓄電池為例建立SOC估算模型，并分析該模型的估算精度。試驗通過可編程電子負載完成測試流程，通過高精度采集設備獲得待分析數據。
3.1 確定電化學安時模型參數
首先，通過一系列恒流放電數據確定電化學安時模型的內部參數。利用0.2、1、2、3 A四組恒流放電數據，如表1中黑體所示，采用最小二乘法計箅得到α、β參數值。電池始終從充滿狀態開始放電，蓄電池輸出電壓衰減到5.4 V作為放電截止條件。
經計算得到：α=4.007、β=2.115，為了驗證模型的有效性，將如表1所示8組時間數據輸入到(6)式，計算出估算的放電電流值。從表1的實際值與估算值之間的比較可以看出，該模型在恒流放電估算上精度較高。同時，從獲得的參數可以看出，該鉛酸蓄電池由于使用或者制造工藝問題，名義容量已經衰落為 4.007 Ah。
3.2 確定閉環估算中的觀測方程
根據前面分析，為實現卡爾曼濾波算法，必須得到如(9)式所示觀測方程?？紤]到蓄電池的開路電壓和SOC的關系以及內阻和SOC的關系均可以使用多項式近似方法獲得，本文分別使用涓流放電和大電流間歇發電實驗得到實驗數據，再通過試驗數據采用多項式近似得到具體的函數表達式。
首先，通過涓流放電實驗得到式中開路電壓和SOC的關系曲線。蓄電池從充滿狀態，在C／20(0.2 A)放電電流下，持續到放電截止，記錄電壓曲線如圖1所示。涓流持續放電的目的是為了最小化蓄電池的動態效應，有效消除蓄電池內部的化學滯后和蓄電池內阻的影響，從而得到Vcc和SOC的天系曲線。該曲線經過多項式近似，得到如表2所示Voc(Sk)函數表達式。
然后，大電流間歇放電實驗得到內阻和SOC的關系曲線。放電循環執行如下流程：(1)10 min 2 A放電；(2)10 min停止放電，得到蓄電池負載電壓如圖2所示。同時圖2也給出了依據放電數據計算出的蓄電池內阻曲線。表2列出了R(sk)函數表達式。與實際蓄電池內阻比較，實驗所得內阻數值偏大，其主要原因是將測量和放電連接單元的電阻也視為內阻。由于所有數據均采集于同一實驗，這樣處理并不會對實驗產生影響。
3.3 開環估算性能
為證明(7)式遞推估算模型在變電流放電過程中的SOC估算有效性，使用如圖3所示的變電流放電試驗數據進行驗證，圖中給出了放電電流曲線和估算的SOC曲線。經(7)式遞推計算得到，放電應該終止于4 608 s=76.8 min時刻，而實際放電試驗中，放電終止于5 004 s=83.4 min時刻，估算相對誤差為8.59％。為減小計算量，遞推過程中(7)式被截斷于m=5。
3.4 閉環估算性能
在引入反饋后，反饋將對原開環系統產生影響。為分析反饋帶來的影響，依然采用圖3所示放電過程，利用閉環估算模型估算SOC數值，得到估算曲線如圖4所示。作為對照，圖4同時給出了開環估算曲線。閉環估算過程相對于開環估算，其平均絕對誤差為2.020 1％、均方根誤差為2.364 5％。結果表明閉環系統對原開環系統的影響很小。同時，也證明了上文得到觀測方程方法的有效性。
為了體現閉環反饋的實際應用意義，調整開環估算中由于測量偏差導致的估算誤差。住電流測量過程中，人為的加入了均值為0.5、方差為1的測量偏差，使用開環估算和閉環估算分別得到曲線如圖5所示。圖中作為參照的真實SOC曲線是無測量偏差情況下得到的開環估算曲線。此時的閉環反饋估算的平均絕對誤差為 2.430 4％，均方根誤差為2.742 5％，依然保證了較高的估算精度，而開環估算完全偏離了實際值。相比文獻中的模型，本文的閉環模型需要確定的參數少，對于蓄電池電路模型的依賴性低，運算過程簡沽，不需要復雜的矩陣運算。使用三種估算方法對上述含有噪聲的數據進行分析估計，得到如圖6所示絕對誤差曲線。

4 結論

使用基于電化學理論的電化學安時模型，實現對蓄電池SOC的在線估算，并針對電化學安時模型開環估算的特性，構造卡爾曼濾波器算法的閉環系統，以減小測量偏差對估算精度的影響。實驗表明：
(1)基于電化學理論的蓄電池動態模型可以用于有效的蓄電池實時SOC估算。
(2)將閉環反饋計算引人開環的安時估算中，對原開環估算精度沒有影響，且可以有效地修正由測量偏差引起的估算誤差。
(3)通過涓流放電和大電流間歇放電獲取試驗數據和多項式近似的方式得到觀測方程，可以有效地應用于卡爾曼濾波器閉環反饋計算。